Найдите наибольшее значение функции \( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 4 \) на отрезке \( [-2;0] \).

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке найдём её производную и критические точки.

Производная функции \( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 4 \):

\[ y' = 3x^2 + 4x - 4 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = \frac{2}{3} \).

Нас интересует отрезок \( [-2;0] \). В этот отрезок попадает критическая точка \( x = -2 \).

Теперь вычислим значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка:

• При \( x = -2 \) (левый конец отрезка и критическая точка):

\[ y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 2(4) + 8 + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12 \]

• При \( x = 0 \) (правый конец отрезка):

\[ y(0) = (0)^3 + 2(0)^2 - 4(0) + 4 = 0 + 0 - 0 + 4 = 4 \]

Сравним полученные значения: 12 и 4. Наибольшее значение равно 12.

Ответ: 12