Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
а) Решение уравнения:
Данное уравнение: \( 2 \sin^2 x \cos x + \sqrt{2} \cos^2 x = \sqrt{2} \).
Перенесём \(\sqrt{2} \cos^2 x \) в правую часть:
\[ 2 \sin^2 x \cos x = \sqrt{2} - \sqrt{2} \cos^2 x \]
Вынесем \(\sqrt{2} \) за скобки справа:
\[ 2 \sin^2 x \cos x = \sqrt{2} (1 - \cos^2 x) \]
Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \):
\[ 2 \sin^2 x \cos x = \sqrt{2} \sin^2 x \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ 2 \sin^2 x \cos x - \sqrt{2} \sin^2 x = 0 \]
Вынесем \( \sin^2 x \) за скобки:
\[ \sin^2 x (2 \cos x - \sqrt{2}) = 0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) \( \sin^2 x = 0 \) \(\Rightarrow \) \( \sin x = 0 \) \(\Rightarrow \) \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
2) \( 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \) \(\Rightarrow \) \( 2 \cos x = \sqrt{2} \) \(\Rightarrow \) \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \(\Rightarrow \) \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Объединяя решения, получаем:
\[ x = \pi k \quad \text{и} \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \]
б) Корни, принадлежащие отрезку \( \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \):
Отрезок \( \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \) соответствует \( [-3.5\pi; -2\pi] \).
Рассмотрим первую серию решений: \( x = \pi k \).
- Если \( k = -2 \), то \( x = -2\pi \). Это правая граница отрезка.
- Если \( k = -3 \), то \( x = -3\pi \). Это значение находится внутри отрезка.
- Если \( k = -4 \), то \( x = -4\pi \). Это значение меньше левой границы отрезка (\(-3.5\pi \)).
Таким образом, из этой серии подходят \( -2\pi \) и \( -3\pi \).
Рассмотрим вторую серию решений: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \).
- Если \( n = -1 \), то \( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} \). Это значение \( -1.75\pi \), что больше \(-2\pi \) и \(-3.5\pi \), значит, не входит в отрезок.
- Если \( n = -2 \), то \( x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi - 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} \). Это значение \( -3.75\pi \), что меньше левой границы отрезка \( -3.5\pi \).
Рассмотрим третью серию решений: \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \).
- Если \( n = -1 \), то \( x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{-\pi - 8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} \). Это значение \( -2.25\pi \), что находится внутри отрезка \( [-3.5\pi; -2\pi] \).
- Если \( n = -2 \), то \( x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{-\pi - 16\pi}{4} = -\frac{17\pi}{4} \). Это значение \( -4.25\pi \), что меньше левой границы отрезка \( -3.5\pi \).
Таким образом, корни, принадлежащие отрезку \( \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \) — это \( -3\pi \) и \( -\frac{9\pi}{4} \).
Ответ: а) \( x = \pi k \) и \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( k, n \in \mathbb{Z} \); б) \( -3\pi, -\frac{9\pi}{4} \)
