Найдите наибольшее значение функции y = e^2-x(x-1) на отрезке [0;5].

Решение:

Найдем производную функции \( y = e^{2-x}(x-1) \).

Используем правило умножения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = e^{2-x} \) и \( v = x-1 \).

Тогда \( u' = e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x} \).

И \( v' = 1 \).

Производная функции:

\[ y' = (-e^{2-x})(x-1) + e^{2-x}(1) \]

\[ y' = -xe^{2-x} + e^{2-x} + e^{2-x} \]

\[ y' = -xe^{2-x} + 2e^{2-x} \]

\[ y' = e^{2-x}(-x+2) \]

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ e^{2-x}(-x+2) = 0 \]

Так как \( e^{2-x} \) всегда больше нуля, то \( -x+2 = 0 \), откуда \( x = 2 \).

Значение \( x=2 \) принадлежит отрезку \( [0; 5] \).

Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• При \( x = 0 \): \( y = e^{2-0}(0-1) = e^2(-1) = -e^2 \)
• При \( x = 2 \): \( y = e^{2-2}(2-1) = e^0(1) = 1 \)
• При \( x = 5 \): \( y = e^{2-5}(5-1) = e^{-3}(4) = \frac{4}{e^3} \)

Сравним полученные значения:

\( -e^2 \approx -(2.718)^2 \approx -7.389 \)

\( 1 \)

\( \frac{4}{e^3} \approx \frac{4}{(2.718)^3} \approx \frac{4}{20.08} \approx 0.199 \)

Наибольшее значение функции равно 1.

Ответ: 1.