81^{cos x} - 12 ∙ 9^{cos x} + 27 = 0. Найдите корни этого уравнения на отрезке [-4π; -5π/2]

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

\[ (9^2)^{\cos x} - 12 \cdot 9^{\cos x} + 27 = 0 \]

\[ (9^{\cos x})^2 - 12 \cdot 9^{\cos x} + 27 = 0 \]

Пусть \( t = 9^{\cos x} \). Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \( 9^{-1} \le 9^{\cos x} \le 9^1 \), то есть \( \frac{1}{9} \le t \le 9 \).

Уравнение примет вид:

\[ t^2 - 12t + 27 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для \( t \). Дискриминант \( D = (-12)^2 - 4(1)(27) = 144 - 108 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \).

Корни уравнения:

\[ t_1 = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ t_2 = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Оба значения \( t_1 = 9 \) и \( t_2 = 3 \) удовлетворяют условию \( \frac{1}{9} \le t \le 9 \).

Теперь вернёмся к замене \( t = 9^{\cos x} \):

Случай 1: \( 9^{\cos x} = 9 \)

\[ \cos x = 1 \]

Общее решение: \( x = 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Случай 2: \( 9^{\cos x} = 3 \)

\[ 9^{\cos x} = 9^{1/2} \]

\[ \cos x = \frac{1}{2} \]

Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Теперь найдём корни на отрезке \( [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \).

Для \( x = 2\pi k \):

\[ -4\pi \le 2\pi k \le -\frac{5\pi}{2} \]

\[ -2 \le k \le -\frac{5}{4} \]

\[ -2 \le k \le -1.25 \]

Ближайшее целое число \( k = -2 \) (т.к. \( -2 \le -1.25 \)).

При \( k = -2 \): \( x = 2\pi(-2) = -4\pi \).

Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

\[ -4\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2} \]

\[ -4 \le \frac{1}{3} + 2n \le -\frac{5}{2} \]

\[ -4 - \frac{1}{3} \le 2n \le -\frac{5}{2} - \frac{1}{3} \]

\[ -\frac{13}{3} \le 2n \le -\frac{17}{6} \]

\[ -\frac{13}{6} \le n \le -\frac{17}{12} \]

\[ -2.16... \le n \le -1.41... \]

Ближайшее целое число \( n = -2 \).

При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi - 12\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3} \).

Для \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

\[ -4\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2} \]

\[ -4 \le -\frac{1}{3} + 2n \le -\frac{5}{2} \]

\[ -4 + \frac{1}{3} \le 2n \le -\frac{5}{2} + \frac{1}{3} \]

\[ -\frac{11}{3} \le 2n \le -\frac{13}{6} \]

\[ -\frac{11}{6} \le n \le -\frac{13}{12} \]

\[ -1.83... \le n \le -1.08... \]

Ближайшее целое число \( n = -1 \).

При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(-1) = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{-\pi - 6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3} \).

Проверим, входят ли найденные корни в отрезок \( [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \).

\( -4\pi \approx -12.56 \)

\( -\frac{5\pi}{2} \approx -7.85 \)

\( -4\pi \approx -12.56 \) — входит.

\( -\frac{11\pi}{3} \approx -11.51 \) — входит.

\( -\frac{7\pi}{3} \approx -7.33 \) — входит.

Ответ: -4π; -11π/3; -7π/3.