5. Найдите косинус угла В треугольника с вершинами А (3; 9), В (0; 6), C (4; 2).

Для нахождения косинуса угла $$B$$ треугольника с вершинами $$A(3; 9)$$, $$B(0; 6)$$, $$C(4; 2)$$ воспользуемся формулой, связывающей косинус угла со сторонами треугольника (теорема косинусов), а также определением векторов, образующих угол.

Сначала найдем векторы $$BA$$ и $$BC$$:

$$BA = A - B = (3 - 0; 9 - 6) = (3; 3)$$,

$$BC = C - B = (4 - 0; 2 - 6) = (4; -4)$$.

Косинус угла между векторами $$BA$$ и $$BC$$ (угол $$B$$) вычисляется по формуле:

$$cos(B) = \frac{BA \cdot BC}{|BA| \cdot |BC|}$$,

где $$BA \cdot BC$$ - скалярное произведение векторов $$BA$$ и $$BC$$, $$|BA|$$ и $$|BC|$$ - длины векторов.

Вычислим скалярное произведение:

$$BA \cdot BC = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0$$.

Теперь вычислим длины векторов:

$$|BA| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$,

$$|BC| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$.

Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

$$cos(B) = \frac{0}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = 0$$.

Ответ: 0