Найдите корень уравнения: |x-3|+|x+3|-4x=|x-1|²-5.

Решение:

Раскроем модули и квадрат:

• \( |x-3| \) равен \( x-3 \) при \( x \geq 3 \) и \( -(x-3) = 3-x \) при \( x < 3 \).
• \( |x+3| \) равен \( x+3 \) при \( x \geq -3 \) и \( -(x+3) = -x-3 \) при \( x < -3 \).
• \( (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \).

Рассмотрим случаи:

Случай 1: \( x \geq 3 \)

В этом случае \( x-3 \geq 0 \), \( x+3 > 0 \), \( x-1 > 0 \).

Уравнение принимает вид:

\[ (x-3) + (x+3) - 4x = (x-1)^2 - 5 \]\[ x - 3 + x + 3 - 4x = x^2 - 2x + 1 - 5 \]\[ -2x = x^2 - 2x - 4 \]\[ 0 = x^2 - 4 \]\[ x^2 = 4 \]

\( x = 2 \) или \( x = -2 \). Оба корня не удовлетворяют условию \( x \geq 3 \).

Случай 2: \( -3 \leq x < 3 \)

В этом случае \( x-3 < 0 \), \( x+3 \geq 0 \), \( x-1 \) может быть как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим подслучаи для \( |x-1|^2 \):

Подслучай 2.1: \( -3 \leq x < 1 \)

\( |x-3| = 3-x \), \( |x+3| = x+3 \), \( |x-1| = 1-x \).

Уравнение:

\[ (3-x) + (x+3) - 4x = (1-x)^2 - 5 \]\[ 6 - 4x = 1 - 2x + x^2 - 5 \]\[ 6 - 4x = x^2 - 2x - 4 \]\[ x^2 + 2x - 10 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 10 = 0 \) по формуле дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44 \]\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -1 \pm \sqrt{11} \]

\( \sqrt{11} \approx 3.31 \). Тогда \( x_1 = -1 + 3.31 = 2.31 \) и \( x_2 = -1 - 3.31 = -4.31 \). Ни один из корней не попадает в промежуток \( -3 \leq x < 1 \).

Подслучай 2.2: \( 1 \leq x < 3 \)

\( |x-3| = 3-x \), \( |x+3| = x+3 \), \( |x-1| = x-1 \).

Уравнение:

\[ (3-x) + (x+3) - 4x = (x-1)^2 - 5 \]\[ 6 - 4x = x^2 - 2x + 1 - 5 \]\[ 6 - 4x = x^2 - 2x - 4 \]\[ x^2 + 2x - 10 = 0 \]

Мы уже решали это уравнение. Корни \( x = -1 \pm \sqrt{11} \). \( x_1 \approx 2.31 \) удовлетворяет условию \( 1 \leq x < 3 \). \( x_2 \approx -4.31 \) не удовлетворяет.

Случай 3: \( x < -3 \)

В этом случае \( x-3 < 0 \), \( x+3 < 0 \), \( x-1 < 0 \).

Уравнение:

\[ -(x-3) - (x+3) - 4x = (-(x-1))^2 - 5 \]\[ -x + 3 - x - 3 - 4x = (x-1)^2 - 5 \]\[ -6x = x^2 - 2x + 1 - 5 \]\[ -6x = x^2 - 2x - 4 \]\[ x^2 + 4x - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( x^2 + 4x - 4 = 0 \) по формуле дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32 \]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2} \]

\( \sqrt{2} \approx 1.41 \). Тогда \( x_1 = -2 + 1.41 = -0.59 \) и \( x_2 = -2 - 1.41 = -3.41 \). Корень \( x_2 = -2 - 2\sqrt{2} \) удовлетворяет условию \( x < -3 \). \( x_1 \) не удовлетворяет.

Ответ: \( x = -1 + \sqrt{11} \) и \( x = -2 - 2\sqrt{2} \).