11. Найдите ∠A и ∠B, если AB=BC и ∠A₁OC=124°.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный, а значит, углы при основании AC равны, то есть ∠A = ∠C.

A₁C₁ – секущая. ∠OA₁A=∠OC₁C как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых A₁C₁ и AC секущей AA₁.

∠A₁OC и ∠C₁OA - смежные углы, сумма которых равна 180°. Следовательно, ∠C₁OA = 180° - ∠A₁OC = 180° - 124° = 56°.

В треугольнике A₁OC сумма углов равна 180°. Так как ∠OA₁C=90°, то ∠OCA₁ = 180° - 90° - 56° = 34°.

Таким образом, ∠A = ∠C = ∠OCA₁ + ∠A₁CA = 90° + 34° = 124°.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, поэтому ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 34° - 34° = 112°.

Ответ: ∠A = 34°, ∠B = 112°.