4. Найди значение выражения: $$4^{-3} \cdot (4^2)^3 \div 2^{-8}$$

Для решения этого выражения необходимо воспользоваться свойствами степеней. Вспомним основные из них:

• $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
• $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
• $$a^m \div a^n = a^{m-n}$$
• $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Теперь решим наше выражение:

$$4^{-3} \cdot (4^2)^3 \div 2^{-8} = 4^{-3} \cdot 4^{2 \cdot 3} \div 2^{-8} = 4^{-3} \cdot 4^6 \div 2^{-8}$$

Так как $$4 = 2^2$$, можно заменить 4 на $$2^2$$:

$$= (2^2)^{-3} \cdot (2^2)^6 \div 2^{-8} = 2^{-6} \cdot 2^{12} \div 2^{-8}$$

Теперь, используя свойства степеней, упростим выражение:

$$= 2^{-6+12} \div 2^{-8} = 2^6 \div 2^{-8} = 2^{6 - (-8)} = 2^{6+8} = 2^{14}$$

Вычислим $$2^{14}$$:

$$2^{14} = 2^{10} \cdot 2^4 = 1024 \cdot 16 = 16384$$

Ответ: 16384