Написать уравнение касательной к графику функции в точке с ординатой y₀ = 1: f(x) = x³ - x² + 1

Решение:

Для нахождения уравнения касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - x^2 + 1 \) при условии \( y_0 = 1 \), сначала найдем абсциссу \( x_0 \), при которой значение функции равно 1.

1. Найдем \( x_0 \) из уравнения \( f(x_0) = 1 \):
   \( x_0^3 - x_0^2 + 1 = 1 \)
   \( x_0^3 - x_0^2 = 0 \)
   \( x_0^2(x_0 - 1) = 0 \)
   Это дает нам два возможных значения \( x_0 \): \( x_0 = 0 \) или \( x_0 = 1 \).
2. Рассмотрим оба случая.
3. Случай 1: \( x_0 = 0 \)
   а. Значение функции: \( f(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1 \).
   б. Производная функции: \( f'(x) = 3x^2 - 2x \).
   в. Значение производной в \( x_0 = 0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) = 0 \>.
   г. Уравнение касательной: \( y - f(0) = f'(0)(x - 0) \)
   \( y - 1 = 0(x - 0) \)
   \( y = 1 \).
4. Случай 2: \( x_0 = 1 \)
   а. Значение функции: \( f(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 \).
   б. Значение производной в \( x_0 = 1 \): \( f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1 \).
   в. Уравнение касательной: \( y - f(1) = f'(1)(x - 1) \)
   \( y - 1 = 1(x - 1) \)
   \( y - 1 = x - 1 \)
   \( y = x \).

Ответ: \( y = 1 \) и \( y = x \).