Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ - x² + 1, которая параллельна прямой y = x + 5.

Решение:

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Угловой коэффициент прямой \( y = x + 5 \) равен 1.

1. Найдем производную функции \( f(x) = x^3 - x^2 + 1 \):
   \( f'(x) = 3x^2 - 2x \).
2. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой \( y = x + 5 \), который равен 1:
   \( 3x^2 - 2x = 1 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение:
   \( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \>.
   Найдем дискриминант:
   \( D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 \>.
   Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \>.
   \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \>.
4. Теперь найдем значения функции \( f(x) \) в этих точках, чтобы определить точки касания.
5. Для \( x_1 = 1 \):
   \( f(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \>.
   Уравнение касательной: \( y - f(1) = f'(1)(x - 1) \)
   \( y - 1 = 1(x - 1) \)
   \( y - 1 = x - 1 \)
   \( y = x \>.
6. Для \( x_2 = -\frac{1}{3} \):
   \( f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{27}{27} = \frac{23}{27} \>.
   Уравнение касательной: \( y - f(-\frac{1}{3}) = f'(-\frac{1}{3})(x - (-\frac{1}{3})) \)
   \( y - \frac{23}{27} = 1(x + \frac{1}{3}) \)
   \( y - \frac{23}{27} = x + \frac{1}{3} \)
   \( y = x + \frac{1}{3} + \frac{23}{27} \)
   \( y = x + \frac{9}{27} + \frac{23}{27} \)
   \( y = x + \frac{32}{27} \>.

Ответ: \( y = x \) и \( y = x + \frac{32}{27} \).