Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ = 2: f(x) = x³ - x² + 1

Решение:

Для нахождения уравнения касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - x^2 + 1 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \) нам понадобятся значение функции и значение её производной в этой точке.

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 2 \):
   \( f(2) = 2^3 - 2^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5 \).
2. Найдем производную функции \( f'(x) \):
   \( f'(x) = 3x^2 - 2x \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 2 \):
   \( f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8 \).
4. Уравнение касательной к графику функции в точке \( (x_0, f(x_0)) \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).
   Подставим найденные значения: \( y - 5 = 8(x - 2) \).
5. Упростим уравнение:
   \( y - 5 = 8x - 16 \)
   \( y = 8x - 16 + 5 \)
   \( y = 8x - 11 \).

Ответ: \( y = 8x - 11 \).