2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P такая, что CP = PD, O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $$\vec{BO}$$, $$\vec{BP}$$, $$\vec{PA}$$ через векторы $$\vec{x} = \vec{BA}$$ и $$\vec{y} = \vec{BC}$$

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда $$\vec{BA} = \vec{x}$$ и $$\vec{BC} = \vec{y}$$.

1. $$\vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{BA} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{x} + \frac{1}{2}(-\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$$

2. $$\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{BA} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$$

3. $$\vec{PA} = \vec{PD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{CD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}$$

Ответ:

• $$\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$$
• $$\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}$$
• $$\vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}$$