5. На стороне АС треугольника АВС выбрана точка М. Из вершины М проведена биссектриса МК, также из вершины М проведена высота МР треугольника СВМ. Известно, что угол между МК и МР равен 90°, а длина отрезка СМ составляет 24. Найдите длину отрезка ВМ.

Логика такая:

• Так как MP - высота, то ∠MPB = 90°.
• Так как MK - биссектриса угла CMB, то ∠CMK = ∠KMB.
• По условию, угол между MK и MP равен 90°, то есть ∠KMP = 90°.
• В треугольнике CMP: ∠CMP = 90° - ∠PCM. В треугольнике BMK: ∠BMK = ∠KMB = ∠CMK = (1/2)∠CMB.
• Так как ∠KMP = 90°, то ∠KMB + ∠BMP = 90°. Или (1/2)∠CMB + ∠BMP = 90°. Но ∠CMP + ∠BMP = ∠CMB, тогда ∠CMP = ∠CMB - ∠BMP.
• Из условия ∠KMP = 90°, следует, что ∠CMK + ∠CMP = 90°, а так как ∠CMK = ∠KMB, то ∠KMB + ∠CMP = 90°. Значит, ∠CMP = ∠KMP = 90°.
• Треугольник CMB - прямоугольный (так как MP высота и угол CMP 90 градусов). MK - биссектриса. Тогда ∠CMK = 45°, значит, треугольник CMK - равнобедренный. То есть CM = CK = 24. Но MK биссектриса, значит CK = KB = 24. Тогда CM = MB = 24.

Ответ: 24