Решение задачи:

Пусть x - количество пятиугольников, а y - количество шестиугольников.

Тогда можно составить систему уравнений:

• $$5x + 6y = 37$$

Решим уравнение в целых числах.

Выразим x через y:

• $$5x = 37 - 6y$$
• $$x = \frac{37 - 6y}{5}$$

Проверим возможные значения y, чтобы x было целым и положительным:

• Если y = 1, то $$x = \frac{37 - 6}{5} = \frac{31}{5}$$ (не целое)
• Если y = 2, то $$x = \frac{37 - 12}{5} = \frac{25}{5} = 5$$ (целое)
• Если y = 3, то $$x = \frac{37 - 18}{5} = \frac{19}{5}$$ (не целое)
• Если y = 4, то $$x = \frac{37 - 24}{5} = \frac{13}{5}$$ (не целое)
• Если y = 5, то $$x = \frac{37 - 30}{5} = \frac{7}{5}$$ (не целое)
• Если y = 6, то $$x = \frac{37 - 36}{5} = \frac{1}{5}$$ (не целое)

Единственное решение, при котором x и y - целые положительные числа, это:

• x = 5 (пятиугольников)
• y = 2 (шестиугольников)

Проверим: $$5 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 25 + 12 = 37$$ (вершин)

Ответ: 5 пятиугольников и 2 шестиугольника.