1. На рисунке прямая АВ касается в точке С окружности с центром О, причем ∠ОВС = ∠ОАС. Докажите, что △АОС = △ВОС.

Доказательство:

1. OC - общая сторона.
2. ∠ОСВ = ∠ОСА = 90°, так как АВ касается окружности в точке С.
3. ∠ОВС = ∠ОАС (по условию).
4. Рассмотрим прямоугольные треугольники △ОСВ и △ОСА.
5. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
6. ∠ВОС = 90° - ∠ОВС, ∠АОС = 90° - ∠ОАС.
7. Т.к. ∠ОВС = ∠ОАС, то ∠ВОС = ∠АОС.
8. △АОС = △ВОС (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: △АОС = △ВОС, что и требовалось доказать.