4. На рисунке окружность вписана в треугольник АВС, М, К и Р — точки касания со сторонами. Известно, что ВС = 15, а периметр треугольника равен 50. Найдите длину отрезка АМ.

Решение:

1. Обозначим АМ = АР = x, ВК = ВР = у, СК = СМ = z.
2. По условию, ВС = 15, следовательно, z + у = 15.
3. Периметр треугольника АВС равен 50, следовательно, 2x + 2y + 2z = 50, тогда x + y + z = 25.
4. Подставим (z + у) = 15 в уравнение x + y + z = 25. Получим, x + 15 = 25, следовательно, x = 10.
5. Т.к. АМ = х, то АМ = 10.

Ответ: Длина отрезка АМ равна 10.