4. На рисунке окружность вписана в треугольник АВС, М, К и Р – точки касания со сторонами. Известно, что ВС = 15, а периметр треугольника равен 50. Найдите длину отрезка АМ.

Ответ: 10

1. Пусть P, K, и M - точки касания окружности со сторонами AB, BC и AC соответственно.
2. Известно, что BC = 15 и периметр треугольника ABC равен 50.
3. Обозначим стороны треугольника: AB = c, BC = a = 15, AC = b. Тогда P = a + b + c = 50.
4. Следовательно, b + c = 50 - 15 = 35.
5. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: AP = AM, BP = BK, CK = CM.
6. Обозначим AM = x, тогда AP = x.
7. Обозначим BK = y, тогда BP = y.
8. Обозначим CM = z, тогда CK = z.
9. Тогда AB = AP + BP = x + y = c, AC = AM + CM = x + z = b, BC = BK + CK = y + z = 15.
10. Выразим y и z через x: y = c - x, z = b - x.
11. Подставим в уравнение y + z = 15: (c - x) + (b - x) = 15.
12. c + b - 2x = 15.
13. Так как b + c = 35, получим: 35 - 2x = 15.
14. 2x = 35 - 15 = 20.
15. x = 10.
16. Следовательно, AM = 10.

Ответ: 10