5. На рисунке ABCD прямоугольник, СН 1 BD, сторона АВ в 3 раза меньше диагонали. Найдите СН, если ВС = 20. B C H A D

Дано: ABCD - прямоугольник, CH перпендикулярна BD, AB в 3 раза меньше BD, BC = 20.

Найти: CH.

Решение:

Пусть AB = x, тогда BD = 3x.

В прямоугольнике ABCD по теореме Пифагора:

$$AB^2 + BC^2 = BD^2$$

$$x^2 + 20^2 = (3x)^2$$

$$x^2 + 400 = 9x^2$$

$$8x^2 = 400$$

$$x^2 = 50$$

$$x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Следовательно, AB = $$5\sqrt{2}$$, BD = $$15\sqrt{2}$$.

Площадь прямоугольника ABCD:

$$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 5\sqrt{2} \cdot 20 = 100\sqrt{2}$$

С другой стороны, площадь треугольника BCD равна половине площади прямоугольника ABCD:

$$S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 100\sqrt{2} = 50\sqrt{2}$$

Площадь треугольника BCD также можно выразить как половину произведения основания BD на высоту CH:

$$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$$

$$50\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH$$

Решим уравнение относительно CH:

$$CH = \frac{2 \cdot 50\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$$

Таким образом, CH = $$\frac{20}{3}$$ или 6$$\frac{2}{3}$$.

Ответ: $$\frac{20}{3}$$