4. На рисунке ABCD -- трапеция, BCKH -- прямоугольник, его диагонали параллельны боковым сторонам трапеции. 1) Докажите, что ΔABK — равнобедренный. 2) Докажите, что AD = 3 BC.

1) Рассмотрим трапецию ABCD. Так как BCKH - прямоугольник, то BK = CH = BC. По условию, диагонали прямоугольника параллельны боковым сторонам трапеции, т.е. BK || AC и CH || BD. Следовательно, углы при основании AD равны: ∠CAD = ∠BDA.

Значит, трапеция ABCD - равнобедренная, т.е. AB = CD. Рассмотрим треугольник ABK. ∠BAK = ∠CAD (как соответственные углы при параллельных прямых BK и AC и секущей AD) и ∠ABK = ∠BDA (как соответственные углы при параллельных прямых CH и BD и секущей AD). Следовательно, ∠BAK = ∠ABK, а значит, треугольник ABK - равнобедренный.

2) Пусть BC = x. Тогда BK = CH = x. Так как диагонали параллельны боковым сторонам, то AH = KD. AD = AH + HK + KD = AH + BC + KD = 2AH + BC. Рассмотрим треугольник ABK. Т.к. он равнобедренный, то AH = BK = x. Следовательно, AD = 2x + x = 3x = 3BC.