Решение задачи 6

1) Доказательство, что трапеция ABCD – равнобедренная:

Пусть трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AD > BC. Диагонали AC и BD являются биссектрисами углов при основании AD. Это означает, что ∠CAD = ∠DAO и ∠BDA = ∠BDO.

Так как AD || BC (ABCD – трапеция), то ∠CAD = ∠BCA (как внутренние накрест лежащие углы). Также, ∠BDA = ∠DBC (как внутренние накрест лежащие углы).

Из равенства ∠CAD = ∠DAO и ∠CAD = ∠BCA следует, что ∠DAO = ∠BCA. Аналогично, из равенства ∠BDA = ∠BDO и ∠BDA = ∠DBC следует, что ∠BDO = ∠DBC.

Рассмотрим треугольник ABD. В нём ∠BAD = ∠BDA (так как ∠BAD = 2∠DAO и ∠BDA = 2∠BDO, а ∠DAO = ∠BDO). Следовательно, треугольник ABD – равнобедренный с основанием BD, а значит, AB = BD.

Аналогично, рассмотрим треугольник ABC. В нём ∠ABC = ∠BCA (так как ∠ABC = 2∠DBC и ∠BCA = 2∠BCA, а ∠DBC = ∠BCA). Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC, а значит, BC = AC.

Таким образом, AB = CD. Следовательно, трапеция ABCD – равнобедренная.

2) Доказательство, что ΔAOD – равнобедренный:

Рассмотрим треугольник AOD. В нём ∠DAO = ∠ADO (по условию, диагонали являются биссектрисами углов при основании AD, а значит, ∠CAD = ∠DAO и ∠BDA = ∠BDO). Следовательно, треугольник AOD – равнобедренный с основанием AD, а значит, AO = DO.