1. На рисунке 68 точка O – центр окружности, \(\angle BOC = 40^\circ\). Найдите угол \(\angle OBD\).

Дано: \(\angle BOC = 40^\circ\). Нужно найти: \(\angle OBD\). Решение: 1. \(OB = OC\) (как радиусы окружности), следовательно, треугольник \(\triangle BOC\) – равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \(\angle OBC = \angle OCB\). 3. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ\). 4. \(BD\) – также радиус окружности, поэтому \(OB = OD\) и \(\triangle BOD\) – равнобедренный. 5. \(\angle OBD = \angle ODB\) (углы при основании равнобедренного треугольника). 6. Так как \(OB = OC = OD\), то \(\triangle BOC = \triangle BOD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle BOC = \angle BOD = 40^\circ\). 7. Тогда \(\angle OBD = \angle ODB = \frac{180^\circ - \angle BOD}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ\). Ответ: \(\angle OBD = 70^\circ\).