66 На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) Z2 + Z4 = 220°; б) 3 (∠1 + 3) = Z2 + Z4; B) 2-1 = 30°.

Решение:

a) ∠2 + ∠4 = 220°.

Сумма смежных углов равна 180°, значит ∠2 + ∠1 = 180° и ∠3 + ∠4 = 180°.

∠4 = 220° - ∠2, подставим в уравнение ∠3 + ∠4 = 180°.

∠3 + 220° - ∠2 = 180°

∠3 - ∠2 = -40°

∠2 - ∠3 = 40°

Углы ∠2 и ∠4 - вертикальные, значит ∠2 = ∠4. Углы ∠1 и ∠3 - вертикальные, значит ∠1 = ∠3.

Сумма вертикальных углов равна 360°.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°

∠2 + ∠4 = 220°, значит ∠1 + ∠3 = 360° - 220° = 140°.

∠1 = ∠3 = 140° : 2 = 70°

∠2 = ∠4 = 220° : 2 = 110°

б) 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4

∠1 + ∠3 = 140°

3 × 140° = ∠2 + ∠4

∠2 + ∠4 = 420°

Сумма вертикальных углов равна 360°, значит, данный случай невозможен.

в) ∠2 - ∠1 = 30°.

∠2 + ∠1 = 180°

Сложим эти два уравнения:

∠2 + ∠1 + ∠2 - ∠1 = 180° + 30°

2 × ∠2 = 210°

∠2 = 105°

∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°

∠1 = ∠3 = 75°

∠2 = ∠4 = 105°

Ответ: а) ∠1 = ∠3 = 70°, ∠2 = ∠4 = 110°; б) решения нет; в) ∠1 = ∠3 = 75°, ∠2 = ∠4 = 105°.