15.9. На рисунке 60 АВ = BC, ∠BAC = 60°, CD – биссектриса угла ВСЕ. Докажите, что АB || CD.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠BAC = ∠BCA = 60°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 60° - 60° = 60°.

Так как все углы треугольника ABC равны 60°, то треугольник ABC – равносторонний, следовательно, AC = BC.

Так как CD – биссектриса угла BCE, то ∠BCD = ∠DCE.

∠BCE и ∠BCA – смежные, поэтому ∠BCE = 180° - ∠BCA = 180° - 60° = 120°.

Тогда ∠BCD = 120°/2 = 60°.

∠BAC = ∠BCD = 60°.

Углы BAC и BCD – соответственные при прямых AB и CD и секущей BC. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, АB || CD, что и требовалось доказать.