15.10. На рисунке 61 AB = BC, ∠BAC = 30°, ∠DCE = $$\frac{1}{5}$$∠BCE. Докажите, что АВ || CD.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠BAC = ∠BCA = 30°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 30° - 30° = 120°.

∠BCE и ∠BCA – смежные, поэтому ∠BCE = 180° - ∠BCA = 180° - 30° = 150°.

∠DCE = $$\frac{1}{5}$$∠BCE = $$\frac{1}{5}$$ * 150° = 30°.

∠BAC = ∠DCE = 30°.

Углы BAC и DCE – соответственные при прямых AB и CD и секущей AC. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, АB || CD, что и требовалось доказать.