Контрольные задания > 2. На рис. 92 AC:CB:AB = 3:4:5, AD = 36 см. Найдите х и у.
Вопрос:

2. На рис. 92 AC:CB:AB = 3:4:5, AD = 36 см. Найдите х и у.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: x = 21.6 см, y = 28.8 см

Краткое пояснение: Используем подобие треугольников и пропорции для нахождения x и y.
  • Шаг 1: Определим, что треугольник ABC - прямоугольный. Так как стороны относятся как 3:4:5, выполняется теорема Пифагора (\(3^2 + 4^2 = 5^2\)).
  • Шаг 2: Рассмотрим подобные треугольники ADC и ABC. Треугольники подобны, так как имеют общий угол A и оба прямоугольные.
  • Шаг 3: Составим пропорцию для нахождения x. \[\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}\] \[\frac{36}{3k} = \frac{3k}{5k}\] Здесь AC = 3k, CB = 4k, AB = 5k. Тогда AD = 36 см.
  • Шаг 4: Найдем коэффициент подобия k. Из пропорции AC:CB:AB = 3:4:5 следует, что AC = 3k, AB = 5k. Значит, \(AB = \frac{5}{3}AC\). Из подобия треугольников ADC и ABC получаем: \(\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}\), следовательно, \(\frac{36}{3k} = \frac{3k}{5k}\). Тогда \(AC = 3k\), а \(AB = 5k\). Также мы знаем, что \(AC:AB = 3:5\), т.е. \(AC = \frac{3}{5}AB\). Используем теорему Пифагора для треугольника ABC: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\). Заменим стороны пропорциональными значениями: \((3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2\), что подтверждает, что треугольник прямоугольный.
  • Шаг 5: Найдем AC. Треугольники ADC и ABC подобны. Значит, \(\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}\). Пусть AC = b. Тогда \(\frac{36}{b} = \frac{b}{AB}\). Мы знаем, что \(AC:CB:AB = 3:4:5\). Выразим AB через AC: \(AB = \frac{5}{3}AC = \frac{5}{3}b\). Подставим в пропорцию: \(\frac{36}{b} = \frac{b}{\frac{5}{3}b}\).
  • Шаг 6: Выразим x через известные значения. Так как треугольники подобны, то \(\frac{x}{CB} = \frac{AD}{AB}\), где \(CB = \frac{4}{3}AC = \frac{4}{3}b\). \[x = \frac{AD \cdot CB}{AB} = \frac{36 \cdot \frac{4}{3}b}{\frac{5}{3}b} = \frac{36 \cdot 4}{5} = \frac{144}{5} = 28.8\] см
  • Шаг 7: Найдем y. Рассмотрим треугольник ABC: \(\frac{AD}{x} = \frac{AC}{BC}\). Мы знаем, что \(AC:CB = 3:4\), значит, \(AC = 3k\) и \(CB = 4k\). Также \(\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{BC}\), следовательно, \(\frac{y}{BC} = \frac{AD}{AC}\) и \(\frac{AD}{AB} = \frac{36}{5k}\). Тогда \(y = AB - AD = 5k - 36\).
  • Шаг 8: Найдем значение k. Так как \(AD = 36\), а \(AC:CB:AB = 3:4:5\), тогда \(\frac{36}{3k} = \frac{AC}{AC}\), значит, \(3k = AC = \frac{3}{5}AB\). Мы знаем, что \(AD = 36\) и \(AC = 3k\). Следовательно, \(y = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(3k)^2 - 36^2} = \sqrt{9k^2 - 1296}\).
  • Шаг 9: Решение. Используем подобие треугольников: \(\frac{AD}{x} = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4}\). Тогда \(x = \frac{4}{3}AD = \frac{4}{3} \cdot 36 = 48\). Так как \(AD + DB = AB\), то \(DB = y = AB - AD = 5k - 36\). Треугольники ADC и ABC подобны, поэтому \(\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}\). Отсюда \(AC^2 = AD \cdot AB = 36 \cdot 5k\). Аналогично, \(BC^2 = BD \cdot AB = y \cdot 5k\). Так как \(AC:CB = 3:4\), то \(\frac{AC^2}{BC^2} = \frac{9}{16}\). Тогда \(\frac{36 \cdot 5k}{y \cdot 5k} = \frac{9}{16}\), значит, \(\frac{36}{y} = \frac{9}{16}\). Отсюда \(y = \frac{36 \cdot 16}{9} = 64\). Так как \(\frac{x}{36} = \frac{4}{3}\), то \(x = \frac{4 \cdot 36}{3} = 48\). Чтобы найти \(x\) и \(y\) из пропорции, обозначим стороны как \(AC = 3k\), \(CB = 4k\) и \(AB = 5k\). Тогда \(\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}\), следовательно, \(\frac{36}{3k} = \frac{3k}{5k}\). Отсюда \(AC = \sqrt{36 \cdot \frac{5}{3}AC}\). Таким образом, \(AD = 36\).
  • Шаг 10: Соотношение сторон Пусть \(AC = 3k\), \(CB = 4k\), \(AB = 5k\). Тогда \(\frac{AD}{AC} = \frac{36}{3k}\). Используем пропорции. Так как \(\triangle ADC \sim \triangle ABC\), то \(\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}\), значит, \(AC^2 = AD \cdot AB = 36 \cdot 5k\). Пусть AC = b, тогда \(\frac{36}{b} = \frac{b}{\frac{5}{3}b}\), откуда \(AC^2 = AD \cdot AB = 36 \cdot 5k\). Так как \(\triangle ADC \sim \triangle ABC\), то \(\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} = \frac{DC}{BC}\). Также \(\frac{DC}{BC} = \frac{x}{4k}\), \(\frac{AD}{AB} = \frac{36}{5k}\), \(\frac{AC}{BC} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}\). Отсюда следует \(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}\) и \(\frac{36}{AB} = \frac{3}{5}\), поэтому \(AB = 60\). Тогда \(\frac{AC}{60} = \frac{3}{5}\), значит, \(AC = 36\). Для нахождения \(x\) и \(y\), воспользуемся формулами для катетов: \(x = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(36)^2}{60} = 21.6\) и \(y = \frac{BC^2}{AB}\). Так как \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{60^2 - 36^2} = 48\), то \(y = \frac{(48)^2}{60} = 38.4\).
  • Шаг 11: Найдем x и y, зная AB Стороны относятся как 3:4:5, тогда \(AB = 5k\), и \(AB = 60\), значит, \(5k = 60\), \(k = 12\). Значит, \(AC = 3k = 3 \cdot 12 = 36\), \(BC = 4k = 4 \cdot 12 = 48\). Тогда \(x = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(36)^2}{60} = 21.6\) см, \(y = \frac{BC^2}{AB} = \frac{(48)^2}{60} = 38.4\) см.

Ответ: x = 21.6 см, y = 38.4 см

Цифровой атлет!

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸

Похожие