Контрольные задания > 5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна а см, а острый угол — 60°. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основа- нием угол 30°.
Вопрос:

5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна а см, а острый угол — 60°. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основа- нием угол 30°.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: Площадь трапеции = \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)

Краткое пояснение: Используем свойства углов и сторон прямоугольной трапеции для нахождения площади.
  • Шаг 1: Определение углов и сторон трапеции. Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB - меньшая боковая сторона (равна a), угол ADC = 60°, а меньшая диагональ AC образует с основанием AD угол 30°.
  • Шаг 2: Найдем углы трапеции. Так как трапеция прямоугольная, углы ABC и BAD равны 90°.
  • Шаг 3: Рассмотрим треугольник ACD. В треугольнике ACD угол CAD = 30°, угол ADC = 60°. Следовательно, угол ACD = 180° - 30° - 60° = 90°. Таким образом, треугольник ACD - прямоугольный.
  • Шаг 4: Найдем длину стороны CD. В прямоугольном треугольнике ACD tg(CAD) = CD/AD. Отсюда CD = AD * tg(30°) = \(AD * \frac{\sqrt{3}}{3}\)
  • Шаг 5: Найдем длину стороны AD. Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту CE из вершины C на сторону AD. Тогда AE = AB = a. В прямоугольном треугольнике CDE угол DCE = 90° - 60° = 30°. Следовательно, DE = CE * ctg(60°) = \(CE * \frac{\sqrt{3}}{3} = a * \frac{\sqrt{3}}{3}\). Таким образом, AD = AE + DE = a + \(a * \frac{\sqrt{3}}{3}\)
  • Шаг 6: Найдем длину основания BC. Так как \(tg 60 = \frac{CD}{AD-BC}\), выразим \(CD = a\) Тогда получим: \(a = (AD - BC) \cdot \sqrt{3}\), следовательно \(a = \sqrt{3}(AD - BC)\) \(\frac{a}{\sqrt{3}} = AD - BC \) или \(\frac{a \sqrt{3}}{3} = AD - BC \)
  • Шаг 7: Найдем площадь трапеции. Площадь трапеции равна: \(S = \frac{BC + AD}{2} * AB = \frac{BC + AD}{2} * a\) \(S = \frac{a+2a}{2} * AD\) \(= \frac{3a}{2} * AD \)
  • Шаг 8: Определим площадь. Следовательно, площадь трапеции равна: \(S = \frac{1}{2} (BC + AD) \cdot a\) \(AD = a \sqrt{3}\) Тогда площадь будет: \(S = \frac{3 \cdot a \sqrt{3} \cdot a}{2} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}\)

Ответ: Площадь трапеции = \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)

Цифровой атлет!

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸

Похожие