275 На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что CM — высота треугольника АВС.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB, точка M лежит на AB и равноудалена от боковых сторон AC и BC. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из точки M на стороны AC и BC, равны. Обозначим эти перпендикуляры как ME и MF соответственно, так что ME = MF.

Рассмотрим треугольники AME и BMF. В них ME = MF, углы MAE и MBF равны (так как ABC равнобедренный), и углы AEM и BFM равны 90 градусов.

Следовательно, треугольники AME и BMF равны по катету и противолежащему острому углу. Отсюда следует, что AM = MB, то есть M — середина AB.

Так как треугольник ABC равнобедренный и M — середина основания AB, то отрезок CM является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой.

Следовательно, CM — высота треугольника ABC.

Ответ: Доказано, что CM - высота треугольника ABC.