949 На оси абсциссе найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (1; 2) и В (-3; 4); б) С (1; 1) и D (3; 5).

Точка на оси абсцисс имеет координаты (x; 0). Расстояние от точки (x; 0) до точек A и B должно быть одинаковым.

a) A(1; 2) и B(-3; 4)

Расстояние от (x; 0) до A(1; 2): $$d_A = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4}$$

Расстояние от (x; 0) до B(-3; 4): $$d_B = \sqrt{(x - (-3))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + 16}$$

Приравниваем расстояния: $$\sqrt{(x - 1)^2 + 4} = \sqrt{(x + 3)^2 + 16}$$

Возводим обе части в квадрат: $$(x - 1)^2 + 4 = (x + 3)^2 + 16$$

Раскрываем скобки: $$x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 + 6x + 9 + 16$$

$$x^2 - 2x + 5 = x^2 + 6x + 25$$

Упрощаем: $$-2x + 5 = 6x + 25$$

$$8x = -20$$

$$x = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$$

Точка: (-2.5; 0)

б) C(1; 1) и D(3; 5)

Расстояние от (x; 0) до C(1; 1): $$d_C = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}$$

Расстояние от (x; 0) до D(3; 5): $$d_D = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25}$$

Приравниваем расстояния: $$\sqrt{(x - 1)^2 + 1} = \sqrt{(x - 3)^2 + 25}$$

Возводим обе части в квадрат: $$(x - 1)^2 + 1 = (x - 3)^2 + 25$$

Раскрываем скобки: $$x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 25$$

$$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 6x + 34$$

Упрощаем: $$-2x + 2 = -6x + 34$$

$$4x = 32$$

$$x = \frac{32}{4} = 8$$

Точка: (8; 0)

Ответ: а) (-2.5; 0), б) (8; 0)