950 Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллело- граммом, и найдите его диагонали, если: a) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4); 6) M (-5; 1), N (-4; 4), P (-1; 5), Q (-2; 2).

Для доказательства, что MNPQ - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

a) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4)

1. Найдем векторы сторон:

$$\vec{MN} = (6 - 1; 1 - 1) = (5; 0)$$, $$\vec{QP} = (7 - 2; 4 - 4) = (5; 0)$$

$$\vec{MQ} = (2 - 1; 4 - 1) = (1; 3)$$, $$\vec{NP} = (7 - 6; 4 - 1) = (1; 3)$$

Противоположные стороны попарно параллельны и равны: MNPQ - параллелограмм.

2. Найдем диагонали:

$$MP = \sqrt{(7 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

$$NQ = \sqrt{(2 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

б) M (-5; 1), N (-4; 4), P (-1; 5), Q (-2; 2)

1. Найдем векторы сторон:

$$\vec{MN} = (-4 - (-5); 4 - 1) = (1; 3)$$, $$\vec{QP} = (-1 - (-2); 5 - 2) = (1; 3)$$

$$\vec{MQ} = (-2 - (-5); 2 - 1) = (3; 1)$$, $$\vec{NP} = (-1 - (-4); 5 - 4) = (3; 1)$$

Противоположные стороны попарно параллельны и равны: MNPQ - параллелограмм.

2. Найдем диагонали:

$$MP = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

$$NQ = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Ответ: а) MNPQ - параллелограмм, $$MP = 3\sqrt{5}$$, $$NQ = 5$$. б) MNPQ - параллелограмм, $$MP = 4\sqrt{2}$$, $$NQ = 2\sqrt{2}$$