На координатной плоскости нарисовали параллелограмм ABCD. Координаты его вершин: A(0; 0), B(3; 3), C(7; 3), D(4; 0). Вне параллелограмма взяли точку М. Найдите AM² + CM² – BM² – DM² =

Пусть координаты точки $$M$$ будут $$(x, y)$$. Тогда:

$$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$$ $$BM^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 18$$ $$CM^2 = (x - 7)^2 + (y - 3)^2 = x^2 - 14x + 49 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 - 14x - 6y + 58$$ $$DM^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 - 8x + 16$$

Теперь подставим в выражение:

$$AM^2 + CM^2 - BM^2 - DM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 14x - 6y + 58) - (x^2 + y^2 - 6x - 6y + 18) - (x^2 + y^2 - 8x + 16) = $$ $$= x^2 + y^2 + x^2 + y^2 - 14x - 6y + 58 - x^2 - y^2 + 6x + 6y - 18 - x^2 - y^2 + 8x - 16 =$$ $$= (x^2 + x^2 - x^2 - x^2) + (y^2 + y^2 - y^2 - y^2) + (-14x + 6x + 8x) + (-6y + 6y) + (58 - 18 - 16) = 24$$

Ответ: 24