На каком свойстве основано преобразование левой части равенства в правую: $$z(m + v) = zm + zv$$

Преобразование $$z(m + v) = zm + zv$$ основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения.

Распределительное свойство (или дистрибутивное свойство) утверждает, что умножение суммы на число эквивалентно сумме произведений каждого слагаемого на это число. В данном случае, $$z$$ умножается на каждое слагаемое в скобках: $$m$$ и $$v$$, что приводит к выражению $$zm + zv$$.