N5. Известно, что x₁ и x₂ - корни уравнения x² - 3x - 5 = 0. Найдите значение выражения 2x₁x₂ / (-5x₁² - 5x₂²).

Решение:

Используем теорему Виета для уравнения x² - 3x - 5 = 0:

• Сумма корней: x₁ + x₂ = -b/a = -(-3)/1 = 3
• Произведение корней: x₁ * x₂ = c/a = -5/1 = -5

Теперь преобразуем выражение, которое нужно найти:

\[ \frac{2x_1x_2}{-5x_1^2 - 5x_2^2} \]

Вынесем общий множитель в знаменателе:

\[ \frac{2x_1x_2}{-5(x_1^2 + x_2^2)} \]

Нам нужно найти x₁² + x₂². Вспомним формулу квадрата суммы:

\[ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \]

Отсюда:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \]

Подставим известные значения:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (3)^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19 \]

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

\[ \frac{2x_1x_2}{-5(x_1^2 + x_2^2)} = \frac{2(-5)}{-5(19)} = \frac{-10}{-95} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{-10}{-95} = \frac{10}{95} = \frac{2}{19} \]

Ответ: 2/19