N4. Найдите все значения переменной, при которых значение выражения (x+2)/(x+3) + 2x/(x²-9) равно 0.

Решение:

Приведем дробь к общему знаменателю. Знаменатель x² - 9 можно разложить как разность квадратов: (x - 3)(x + 3).

Общий знаменатель: (x - 3)(x + 3).

Теперь перепишем выражение:

\[ \frac{x+2}{x+3} + \frac{2x}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

Домножим первую дробь на (x - 3):

\[ \frac{(x+2)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{2x}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

Сложим числители:

\[ \frac{(x+2)(x-3) + 2x}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{x^2 - 3x + 2x - 6 + 2x}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{x^2 + x - 6}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравниваем числитель к нулю:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \]\[ \sqrt{D} = 5 \]\[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
2. Проверяем знаменатель:

Знаменатель (x - 3)(x + 3) не должен быть равен нулю. Это значит, что x ≠ 3 и x ≠ -3.

Мы получили два корня: x₁ = 2 и x₂ = -3.

Однако, корень x = -3 делает знаменатель равным нулю, поэтому он не подходит.

Ответ: 2