1. MK = NK = 26, MN = 20, OE = ?

Дано: \(MK = NK = 26\) \(MN = 20\) Найти: \(OE\) Решение: \(OE\) - это радиус окружности, вписанной в треугольник \(\triangle MKN\). \(\triangle MKN\) - равнобедренный, так как \(MK = NK\). \(E\) - середина \(MN\), так как \(OE\) - высота и медиана. \(ME = EN = \frac{MN}{2} = \frac{20}{2} = 10\) Рассмотрим \(\triangle KEN\) - прямоугольный, где \(KN = 26\) и \(EN = 10\). По теореме Пифагора: \(KE^2 = KN^2 - EN^2\) \(KE^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576\) \(KE = \sqrt{576} = 24\) Пусть \(r\) - радиус вписанной окружности (то есть \(OE\)). Площадь треугольника \(\triangle MKN\) можно вычислить двумя способами: 1) \(S = \frac{1}{2} cdot MN cdot KE = \frac{1}{2} cdot 20 cdot 24 = 240\) 2) \(S = p cdot r\), где \(p\) - полупериметр треугольника, \(r\) - радиус вписанной окружности. \(p = \frac{MK + NK + MN}{2} = \frac{26 + 26 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36\) Тогда, \(240 = 36 cdot r\) \(r = \frac{240}{36} = \frac{20}{3}\) \(OE = \frac{20}{3}\) Ответ: \(OE = \frac{20}{3}\)