17) Миша задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 18, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Миша? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть $$x$$ и $$y$$ – задуманные числа, причём $$x > y$$. Тогда: $$x + y = 18$$ $$10 < x - y < 14$$ Выразим $$x$$ через $$y$$ из первого уравнения: $$x = 18 - y$$. Подставим это выражение во второе неравенство: $$10 < (18 - y) - y < 14$$ $$10 < 18 - 2y < 14$$ Вычтем 18 из всех частей неравенства: $$10 - 18 < -2y < 14 - 18$$ $$-8 < -2y < -4$$ Разделим все части неравенства на -2, изменив знаки неравенств: $$\frac{-8}{-2} > y > \frac{-4}{-2}$$ $$4 > y > 2$$ $$2 < y < 4$$ Так как $$y$$ – натуральное число, то $$y = 3$$. Тогда $$x = 18 - y = 18 - 3 = 15$$. Проверим разность: $$x - y = 15 - 3 = 12$$. $$10 < 12 < 14$$, что соответствует условию. **Ответ:** Миша задумал числа 15 и 3.