4. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 18 см. O - точка пересечения диагоналей. ∠AOD = 120°. Определите длину диагонали.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, \(AO = OD\), и треугольник \(AOD\) - равнобедренный. Угол \(AOD = 120°\), следовательно, углы при основании \(AD\) равны: \[\angle OAD = \angle ODA = \frac{180° - 120°}{2} = 30°\] Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABK\), где \(K\) - основание высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AD\). В этом треугольнике \(\angle BAK = 30°\), а катет \(BK = 18\) см (меньшая сторона прямоугольника). Диагональ прямоугольника \(AD\) равна: \[AD = 2 \cdot AO = 2 \cdot \frac{BK}{\sin(\angle OAD)} = 2 \cdot \frac{18}{\sin(30°)} = 2 \cdot \frac{18}{0.5} = 2 \cdot 36 = 72\] Ответ: Длина диагонали равна 36 см.