Медиана равностороннего треугольника равна \( \frac{14}{3} \). Найдите сторону этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( a \), а медиана (высота) — \( h \).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного медианой, половиной стороны и стороной треугольника:

\( a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

\( a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4} \)

\( a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2 \)

\( \frac{3a^2}{4} = h^2 \)

\( a^2 = \frac{4h^2}{3} \)

\( a = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2h\sqrt{3}}{3} \)

Подставим значение медианы \( h = \frac{14}{3} \):

\( a = \frac{2 \cdot \frac{14}{3} \sqrt{3}}{3} = \frac{\frac{28}{3} \sqrt{3}}{3} = \frac{28\sqrt{3}}{9} \)

Ответ: \( \frac{28\sqrt{3}}{9} \).