Log₂( (3x-2)/(x+1) ) > 1

Решение:

1. ОДЗ (область допустимых значений):
• \( \frac{3x-2}{x+1} > 0 \)
• Корни числителя: \( 3x-2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \)
• Корень знаменателя: \( x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
• Решая неравенство \( \frac{3x-2}{x+1} > 0 \), получаем: \( x < -1 \) или \( x > \frac{2}{3} \).
2. Решаем исходное логарифмическое неравенство:
\[ \log_2 \left( \frac{3x-2}{x+1} \right) > 1 \]\[ \log_2 \left( \frac{3x-2}{x+1} \right) > \log_2 2 \]
3. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), то:
\[ \frac{3x-2}{x+1} > 2 \]\[ \frac{3x-2}{x+1} - 2 > 0 \]\[ \frac{3x-2 - 2(x+1)}{x+1} > 0 \]\[ \frac{3x-2 - 2x - 2}{x+1} > 0 \]\[ \frac{x-4}{x+1} > 0 \]
4. Решая это неравенство методом интервалов, получаем: \( x < -1 \) или \( x > 4 \).
5. Учитывая ОДЗ (\( x < -1 \) или \( x > \frac{2}{3} \)), пересекаем полученное решение с ОДЗ.
6. Объединяем интервалы: \( (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \).