Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км. Найдите скорость лодки по течению и её скорость против течения, если за 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как за 5 ч по течению.

Решение:

Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_{по_т} = v_л + v_т \).

Скорость лодки против течения: \( v_{пр_т} = v_л - v_т \).

Из условия задачи составим систему уравнений:

1. \( 3(v_л + v_т) + 4(v_л - v_т) = 114 \)
2. \( 6(v_л - v_т) = 5(v_л + v_т) \)

Раскроем скобки:

1. \( 3v_л + 3v_т + 4v_л - 4v_т = 114 \)

• \( 7v_л - v_т = 114 \) (1)

1. \( 6v_л - 6v_т = 5v_л + 5v_т \)

• \( v_л = 11v_т \) (2)

Теперь подставим значение \( v_л \) из уравнения (2) в уравнение (1):

\( 7(11v_т) - v_т = 114 \)

\( 77v_т - v_т = 114 \)

\( 76v_т = 114 \)

\( v_т = \frac{114}{76} = \frac{3}{2} = 1.5 \) км/ч.

Теперь найдём \( v_л \), используя уравнение (2):

\( v_л = 11v_т = 11 \cdot 1.5 = 16.5 \) км/ч.

Скорость лодки по течению:

\( v_{по_т} = v_л + v_т = 16.5 + 1.5 = 18 \) км/ч.

Скорость лодки против течения:

\( v_{пр_т} = v_л - v_т = 16.5 - 1.5 = 15 \) км/ч.

Проверим первое условие: \( 3 \cdot 18 + 4 \cdot 15 = 54 + 60 = 114 \) км. Верно.

Проверим второе условие: \( 6 \cdot 15 = 90 \) км, \( 5 \cdot 18 = 90 \) км. Верно.

Ответ: Скорость лодки по течению — 18 км/ч, скорость против течения — 15 км/ч.