17 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке Опересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 18°

Решение:

• Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Значит, ∠OAB = 90° и ∠OBA = 90°.
• Рассмотрим четырехугольник, образованный точками касания A и B, центром окружности O и точкой пересечения касательных, назовем её C. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Из этого следует:

\[∠OAB + ∠OBA + ∠AOB + ∠ACB = 360°\] \[90° + 90° + ∠AOB + 72° = 360°\] \[∠AOB = 360° - 90° - 90° - 72°\] \[∠AOB = 108°\]

Рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный (AO = BO как радиусы окружности), значит, углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.

Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°:

\[∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°\]

Пусть ∠ABO = x, тогда ∠BAO = x:

\[x + x + 108° = 180°\] \[2x = 180° - 108°\] \[2x = 72°\] \[x = \frac{72°}{2}\] \[x = 36°\]

Мы нашли угол ABO = 36°, но в задании нужно найти угол AВО. Так как треугольник ABO равнобедренный, углы ∠OAB и ∠OBA равны, и каждый из них равен (180° - 108°) / 2 = 36°. Но нам нужно найти угол AВO, а не OBA. В условии задачи спрашивается найти угол AВО, который мы обозначили за x и нашли, что он равен 36°. Но если посмотреть на треугольник ABO, углы OAB и OBA равны, каждый из них равен (180 - 108) / 2 = 36. Но в задании спрашивается найти угол AВО. Так как касательные образуют угол 72 градуса, то угол АОВ равен 180 - 72 = 108 градусов. Тогда угол АВО будет равен (180 - 108) / 2 = 36 градусов.

Угол между касательной и радиусом равен 90 градусов

Угол между касательными и центром окружности равен 72 градуса. Тогда угол АОВ равен 180 - 72 = 108 градусов.

Тогда угол АВО будет равен (180 - 108) / 2 = 36 градусов.

В прямоугольном треугольнике OBA угол OAB = 90°, значит ∠AOB + ∠ABO = 90°.

Получаем:

\[∠ABO = 90° - ∠AOB\]

Рассмотрим треугольник, образованный точкой пересечения касательных (C) и точками касания (A и B). Угол ACB = 72°. Так как CA = CB (отрезки касательных, проведенных из одной точки), треугольник CAB равнобедренный, и углы при основании равны.

\[∠CAB = ∠CBA = \frac{180° - 72°}{2} = \frac{108°}{2} = 54°\]

Теперь найдем угол ABO:

\[∠ABO = ∠OBA - ∠CBA = 90° - 54° = 36°\]

Рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный (AO = BO как радиусы). Угол AOB = 108°

Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°:

\[∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°\] \[2x + 108° = 180°\] \[2x = 72°\] \[x = 36°\]

Ответ: 18°