Карточка № 1. Решите неравенства: 1) (2x − 1)/((5 − 4x)(8 + x)) ≥ 0; 2) ((5x + 2)(x − 4))/(5x) ≥ 0; 3) 1/((4x − 6)(3 − 7x)(5x + 4)) ≥ 0; 4) (x − 4)/((2x − 5)(3x − 1)) ≥ 0; 5) (x − 2)(10x + 7)(1 − x) > 0.

Решаем методом интервалов: отмечаем нули числителя и знаменателя, разбиваем ими числовую прямую и определяем знак выражения на каждом интервале. Нули знаменателя исключаем; нули числителя включаем только при нестрогом неравенстве.

1. Критические точки: −8, 1/2, 5/4. Знаки на интервалах, слева направо: +, −, +, −. Точка −8 исключается, 1/2 включается, 5/4 исключается.

   Ответ: (−∞; −8) ∪ [1/2; 5/4).

2. Критические точки: −2/5 и 4 — нули числителя; 0 — нуль знаменателя. Знаки: −, +, −, +.

   Ответ: [−2/5; 0) ∪ [4; +∞).

3. Нули знаменателя: −4/5, 3/7, 3/2. Знаки: +, −, +, −. Все критические точки исключаются, так как они обращают знаменатель в ноль.

   Ответ: (−∞; −4/5) ∪ (3/7; 3/2).

4. Нули знаменателя: 1/3 и 5/2; нуль числителя: 4. Знаки: −, +, −, +.

   Ответ: (1/3; 5/2) ∪ [4; +∞).

5. Нули множителей: −7/10, 1 и 2. Знаки произведения: +, −, +, −. Неравенство строгое, поэтому нули не включаем.

   Ответ: (−∞; −7/10) ∪ (1; 2).