Камень, брошенный верикально вверх, достиг высоты 20 м. Найдите начальную скорость камня и время, в течение которого он находился в полете.

Дано:

• $$h = 20 \text{ м}$$
• $$g = 9.8 \text{ м/с}^2$$

Найти:

• $$v_0$$ - начальная скорость,
• $$t$$ - время полета.

Решение:

При движении тела вертикально вверх, его скорость изменяется по закону:

$$v(t) = v_0 - gt$$

В верхней точке траектории скорость равна нулю:

$$0 = v_0 - gt_{up}$$

Время подъема до верхней точки:

$$t_{up} = \frac{v_0}{g}$$

Высота, достигнутая телом, выражается формулой:

$$h = v_0t_{up} - \frac{gt_{up}^2}{2}$$

Подставим выражение для времени подъема:

$$h = v_0 \cdot \frac{v_0}{g} - \frac{g}{2} \cdot \left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$$

Отсюда выражаем начальную скорость:

$$v_0^2 = 2gh$$ $$v_0 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 20} = \sqrt{392} \approx 19.8 \text{ м/с}$$

Время подъема:

$$t_{up} = \frac{v_0}{g} = \frac{19.8}{9.8} \approx 2.02 \text{ с}$$

Время полета (подъема и падения) в два раза больше времени подъема:

$$t = 2t_{up} = 2 \cdot 2.02 = 4.04 \text{ с}$$

Ответ: Начальная скорость камня примерно 19.8 м/с, время полета примерно 4.04 с.