Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

График функции \( y = |x^2 - 9| \) симметричен относительно оси ординат (оси \( y \)).

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \), где \( k \) — константа.

Рассмотрим возможные случаи:

• Если \( k < 0 \), прямая \( y = k \) не имеет общих точек с графиком \( y = |x^2 - 9| \), так как все значения \( y \) на графике неотрицательны.
• Если \( k = 0 \), прямая \( y = 0 \) (ось абсцисс) имеет две общие точки с графиком: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).
• Если \( 0 < k < 9 \), прямая \( y = k \) пересекает график в четырёх точках. Это происходит потому, что уравнение \( x^2 - 9 = k \) имеет два решения (например, \( x = ± √(9+k) \)), и уравнение \( -(x^2 - 9) = k \rightarrow 9 - x^2 = k \rightarrow x^2 = 9 - k \) также имеет два решения ( \( x = ± √(9-k) \) ), так как \( 9 - k > 0 \) при \( k < 9 \).
• Если \( k = 9 \), уравнение \( |x^2 - 9| = 9 \) даёт \( x^2 - 9 = 9 \) ( \( x^2 = 18 \), \( x = ±√18 \) ) или \( x^2 - 9 = -9 \) ( \( x^2 = 0 \), \( x = 0 \) ). Всего три общие точки.
• Если \( k > 9 \), уравнение \( |x^2 - 9| = k \) сводится к \( x^2 - 9 = k \) (так как \( x^2 - 9 \) будет больше 0), что даёт два решения \( x = ± √(9+k) \).

Наибольшее число общих точек — четыре.

Ответ: 4.