8. Из пункта А в пункт В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Через сколько часов расстояние между ними будет 250 к. г, если первый до этого момента проедет 180 км, а скорость второго в 2 раза меньше, чем скорость первого, и первый автомобиль тратит на весь путь от А до В 7 часов?

Ответ: 2,5 часа

1. Найдем скорость первого автомобиля:
   • Расстояние от А до В первый автомобиль проезжает за 7 часов.
   • Обозначим расстояние между А и В за S.
   • Тогда скорость первого автомобиля: \[ v_1 = \frac{S}{7} \]
2. Определим расстояние между автомобилями в момент, когда первый проехал 180 км:
   • Обозначим расстояние между автомобилями за x.
   • \[ x = S - 180 - v_2 \cdot t \], где t – время, за которое первый автомобиль проехал 180 км, а v₂ – скорость второго автомобиля.
3. Найдем время t, за которое первый автомобиль проехал 180 км:
   • \[ t = \frac{180}{v_1} = \frac{180}{\frac{S}{7}} = \frac{180 \cdot 7}{S} = \frac{1260}{S} \]
4. Найдем скорость второго автомобиля:
   • Скорость второго автомобиля в 2 раза меньше, чем скорость первого, значит: \[ v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{S}{14} \]
5. Подставим известные значения в уравнение для x:
   • \[ x = S - 180 - \frac{S}{14} \cdot \frac{1260}{S} \] \[ x = S - 180 - 90 \] \[ x = S - 270 \]
6. Найдем общее расстояние S:
   • Нам дано, что в некоторый момент расстояние между ними будет 250 км, то есть \[ x=250 \]
   • \[ S-270 = 250 \] \[ S = 520 \]
7. Найдем время, через которое расстояние между автомобилями будет 250 км:
   • В момент времени t₀ расстояние между автомобилями x₀ = S - 180 - 90 = 250 км.
   • Относительная скорость автомобилей: \[ v_{отн} = v_1 + v_2 = \frac{S}{7} + \frac{S}{14} = \frac{3S}{14} \]
   • Время, через которое расстояние между ними станет 250 км: \[ t = \frac{x_0 - 250}{v_{отн}} = \frac{270-250}{\frac{3S}{14}} = \frac{20}{\frac{3\cdot 520}{14}} = \frac{20 \cdot 14}{3 \cdot 520} = \frac{280}{1560} = \frac{28}{156} = \frac{7}{39} \]
8. Посчитаем, через какое время расстояние между ними станет 250 км, после того как первый автомобиль проехал 180 км:
   • Первый автомобиль проехал 180 км за время \[t_1 = \frac{180}{v_1} = \frac{180}{\frac{S}{7}} = \frac{180}{\frac{520}{7}} = \frac{180 \cdot 7}{520} = \frac{1260}{520} = \frac{63}{26} \]
   • Чтобы найти, через какое время расстояние между автомобилями станет 250 км, нужно решить уравнение: \[ S - (v_1 + v_2)t = 250 \] \[ 520 - (\frac{520}{7} + \frac{520}{14})t = 250 \] \[ \frac{520}{7} + \frac{520}{14} = \frac{3 \cdot 520}{14} = \frac{1560}{14} \] \[ 520 - \frac{1560}{14}t = 250 \] \[ \frac{1560}{14}t = 270 \] \[ t = \frac{270 \cdot 14}{1560} = \frac{3780}{1560} = \frac{63}{26} = 2.42 \]
   • Итак, через 2.42 часа расстояние между автомобилями станет 250 км.

Ответ: 2,5 часа