7. Исследуйте функцию f(x) = 2 + 18х2 – х4 и постройте эскиз её графика. В исследование включите: область определения; чётность/нечётность; точки пересечения с осями; промежутки монотонности и экстремумы; промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

1. Область определения:

Функция f(x) = 2 + 18x² – x⁴ является многочленом, поэтому её область определения - все действительные числа.

$$ D(f) = (-\infty; +\infty) $$

2. Чётность/нечётность:

$$ f(-x) = 2 + 18(-x)² - (-x)⁴ = 2 + 18x² - x⁴ = f(x) $$

Функция чётная.

3. Точки пересечения с осями:

• С осью OY: x = 0
$$ f(0) = 2 + 18(0)² - (0)⁴ = 2 $$
• Точка пересечения: (0; 2)
• С осью OX: y = 0
$$ 2 + 18x² - x⁴ = 0 $$

Пусть t = x²:

$$ 2 + 18t - t² = 0 $$ $$ t² - 18t - 2 = 0 $$ $$ D = (-18)² - 4(1)(-2) = 324 + 8 = 332 $$ $$ t_1 = \frac{18 + \sqrt{332}}{2} = 9 + \sqrt{83} $$ $$ t_2 = \frac{18 - \sqrt{332}}{2} = 9 - \sqrt{83} $$

Так как t = x²:

$$ x_1 = \sqrt{9 + \sqrt{83}} $$ $$ x_2 = -\sqrt{9 + \sqrt{83}} $$ $$ x_3 = \sqrt{9 - \sqrt{83}} $$ $$ x_4 = -\sqrt{9 - \sqrt{83}} $$
• Точки пересечения с осью ОХ: ($$\sqrt{9 + \sqrt{83}}$$; 0), (-$$\sqrt{9 + \sqrt{83}}$$; 0), ($$\sqrt{9 - \sqrt{83}}$$; 0), (-$$\sqrt{9 - \sqrt{83}}$$; 0).

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдём производную функции:

$$ f'(x) = 36x - 4x³ $$

Приравняем производную к нулю:

$$ 36x - 4x³ = 0 $$ $$ 4x(9 - x²) = 0 $$

Корни:

$$ x_1 = 0 $$ $$ x_2 = 3 $$ $$ x_3 = -3 $$

Определим знаки производной на промежутках:

• x < -3: f'(-4) = 36(-4) - 4(-4)³ = -144 + 256 = 112 > 0
• -3 < x < 0: f'(-1) = 36(-1) - 4(-1)³ = -36 + 4 = -32 < 0
• 0 < x < 3: f'(1) = 36(1) - 4(1)³ = 36 - 4 = 32 > 0
• x > 3: f'(4) = 36(4) - 4(4)³ = 144 - 256 = -112 < 0

Интервалы монотонности:

• (-∞; -3) - функция возрастает
• (-3; 0) - функция убывает
• (0; 3) - функция возрастает
• (3; +∞) - функция убывает

Точки экстремума:

• x = -3 - точка максимума
• x = 0 - точка минимума
• x = 3 - точка максимума

Значения функции в точках экстремума:

$$ f(-3) = 2 + 18(-3)² - (-3)⁴ = 2 + 162 - 81 = 83 $$ $$ f(0) = 2 + 18(0)² - (0)⁴ = 2 $$ $$ f(3) = 2 + 18(3)² - (3)⁴ = 2 + 162 - 81 = 83 $$

5. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба:

Найдём вторую производную функции:

$$ f''(x) = 36 - 12x² $$

Приравняем вторую производную к нулю:

$$ 36 - 12x² = 0 $$ $$ x² = 3 $$ $$ x_1 = \sqrt{3} $$ $$ x_2 = -\sqrt{3} $$

Определим знаки второй производной на промежутках:

• x < -√3: f''(-2) = 36 - 12(-2)² = 36 - 48 = -12 < 0
• -√3 < x < √3: f''(0) = 36 - 12(0)² = 36 > 0
• x > √3: f''(2) = 36 - 12(2)² = 36 - 48 = -12 < 0

Интервалы выпуклости/вогнутости:

• (-∞; -√3) - функция выпукла вверх
• (-√3; √3) - функция вогнута вниз
• (√3; +∞) - функция выпукла вверх

Точки перегиба:

• x = -√3
• x = √3

Значения функции в точках перегиба:

$$ f(-\sqrt{3}) = 2 + 18(-\sqrt{3})² - (-\sqrt{3})⁴ = 2 + 54 - 9 = 47 $$ $$ f(\sqrt{3}) = 2 + 18(\sqrt{3})² - (\sqrt{3})⁴ = 2 + 54 - 9 = 47 $$

График:

Ответ: Область определения: (-∞; +∞). Функция четная. Точки пересечения с OY: (0; 2). Точки пересечения с осью ОХ: ($$\sqrt{9 + \sqrt{83}}$$; 0), (-$$\sqrt{9 + \sqrt{83}}$$; 0), ($$\sqrt{9 - \sqrt{83}}$$; 0), (-$$\sqrt{9 - \sqrt{83}}$$; 0). Интервалы монотонности: (-∞; -3) - функция возрастает, (-3; 0) - функция убывает, (0; 3) - функция возрастает, (3; +∞) - функция убывает. Точки экстремума: x = -3 - точка максимума, x = 0 - точка минимума, x = 3 - точка максимума. Интервалы выпуклости/вогнутости: (-∞; -√3) - функция выпукла вверх, (-√3; √3) - функция вогнута вниз, (√3; +∞) - функция выпукла вверх. Точки перегиба: x = -√3, x = √3. График представлен выше.