7. Используйте свойства логарифмов и решите уравнение log2(x-5) + log2(x + 2) = 3.

Ответ: x = 6

Шаг 1: Используем свойство логарифмов loga(b) + loga(c) = loga(b * c):

log2(x - 5) + log2(x + 2) = log2((x - 5)(x + 2))

Шаг 2: Получаем уравнение:

log2((x - 5)(x + 2)) = 3

Шаг 3: Избавляемся от логарифма:

(x - 5)(x + 2) = 2^3

(x - 5)(x + 2) = 8

Шаг 4: Раскрываем скобки:

x² + 2x - 5x - 10 = 8

x² - 3x - 10 = 8

Шаг 5: Переносим все в одну сторону:

x² - 3x - 10 - 8 = 0

x² - 3x - 18 = 0

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81

x1 = (-b + √D) / (2a) = (3 + √81) / 2 = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6

x2 = (-b - √D) / (2a) = (3 - √81) / 2 = (3 - 9) / 2 = -6 / 2 = -3

Шаг 7: Проверяем корни:

x = 6:

log2(6 - 5) + log2(6 + 2) = log2(1) + log2(8) = 0 + 3 = 3 (подходит)

x = -3:

log2(-3 - 5) + log2(-3 + 2) = log2(-8) + log2(-1) (не подходит, так как логарифм отрицательного числа не существует)

Ответ: x = 6