Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если AB = 5 см, ∠B = 42°, ∠C = 55°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол A равен:

$$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 42° - 55° = 83°$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$.

Отсюда находим стороны BC и AC:

$$BC = \frac{AB \cdot \sin{A}}{\sin{C}} = \frac{5 \cdot \sin{83°}}{\sin{55°}} \approx \frac{5 \cdot 0.9925}{0.8192} \approx 6.05 \text{ см}$$

$$AC = \frac{AB \cdot \sin{B}}{\sin{C}} = \frac{5 \cdot \sin{42°}}{\sin{55°}} \approx \frac{5 \cdot 0.6691}{0.8192} \approx 4.08 \text{ см}$$

Ответ: ∠A = 83°, BC ≈ 6.1 см, AC ≈ 4.1 см.