Решение задания 2.240

Пусть у нас есть три дроби с одинаковыми знаменателями: a/c, b/c и d/c.

Переместительное свойство утверждает, что порядок слагаемых не влияет на сумму:

$$a/c + b/c = b/c + a/c$$

Доказательство:

$$a/c + b/c = (a + b) / c$$

$$b/c + a/c = (b + a) / c$$

Так как для натуральных чисел a + b = b + a, то и для дробей a/c + b/c = b/c + a/c.

Сочетательное свойство утверждает, что порядок выполнения операций сложения не влияет на сумму:

$$(a/c + b/c) + d/c = a/c + (b/c + d/c)$$

Доказательство:

$$(a/c + b/c) + d/c = ((a + b) / c) + d/c = (a + b + d) / c$$

$$a/c + (b/c + d/c) = a/c + ((b + d) / c) = (a + b + d) / c$$

Так как для натуральных чисел (a + b) + d = a + (b + d), то и для дробей (a/c + b/c) + d/c = a/c + (b/c + d/c).