Используя основное тригонометрическое тождество и значение \(sina = \frac{8}{14}\), найдите cosa и tga.

Ответ: \(cosa = \frac{\sqrt{132}}{14}\) и \(tga = \frac{8}{\sqrt{132}}\)

Дано: \(sina = \frac{8}{14}\)

Найти: \(cosa\) и \(tga\)

Решение:

1. Основное тригонометрическое тождество: \[sin^2a + cos^2a = 1\]
2. Выражаем \(cos^2a\) через \(sin^2a\):\[cos^2a = 1 - sin^2a\]
3. Подставляем известное значение \(sina\):\[cos^2a = 1 - \left(\frac{8}{14}\right)^2\]
4. Вычисляем квадрат синуса:\[cos^2a = 1 - \frac{64}{196}\]
5. Приводим к общему знаменателю:\[cos^2a = \frac{196 - 64}{196}\]
6. Вычитаем:\[cos^2a = \frac{132}{196}\]
7. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:\[cosa = \sqrt{\frac{132}{196}}\]
8. Упрощаем:\[cosa = \frac{\sqrt{132}}{14}\]
9. Теперь находим тангенс, используя формулу:\[tga = \frac{sina}{cosa}\]
10. Подставляем известные значения синуса и косинуса:\[tga = \frac{\frac{8}{14}}{\frac{\sqrt{132}}{14}}\]
11. Упрощаем:\[tga = \frac{8}{\sqrt{132}}\]

Ответ: \(cosa = \frac{\sqrt{132}}{14}\) и \(tga = \frac{8}{\sqrt{132}}\)