II вариант 1. Рис. 857. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) МК; 6) PE : NK; B) SMEP : SMKN

1. Рассмотрим рисунок 857.

а) Так как PE || NK, то △MPE подобен △MNK по двум углам (∠M - общий, ∠MEP = ∠MKN как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MK). Из подобия следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{6}{MK} = \frac{8}{12} $$

Решим уравнение относительно MK:

$$ MK = \frac{6 \times 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 $$

б) Используем подобие треугольников △MPE и △MNK:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} $$

Мы уже знаем, что MK = 9, ME = 6, MN = 12, MP = 8. Подставим известные значения:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = (\frac{ME}{MK})^2 $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = (\frac{6}{9})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $$

Ответ: а) MK = 9; б) PE : NK = 2/3; в) S_MEP : S_MKN = 4/9